你们好，最近小未来发现有诸多的小伙伴们对于虚数i，虚数这个问题都颇为感兴趣的，今天小活为大家梳理了下，一起往下看看吧。
1、一、什么是虚数？
2、首先，假设有一个数轴，有两个相对的点：1和-1。
3、这个数轴的正部分可以绕原点旋转。很明显，如果逆时针旋转180度，1就会变成-1。
4、这相当于逆时针旋转90度两次。
5、因此，我们可以得到如下关系：
6、(1) *(逆时针旋转90度)*(逆时针旋转90度)=(-1)
7、如果去掉1，则该公式变为：
8、(逆时针旋转90度)2=(-1)
9、写下“逆时针旋转90度”如下：
10、i^2=(-1)
11、这个公式很熟悉。就是虚数的定义公式。
12、所以我们可以知道虚数 i逆时针旋转90度，I不是一个数，而是一个旋转量。
13、二、复数的定义
14、由于I代表旋转量，所以我们可以用I来表示任意实数的旋转状态。
15、当实数轴作为横轴，虚数轴作为纵轴时，就形成了一个二维平面。任何旋转到某个角度的正实数必然唯一对应于这个平面上的某个点。
16、只要确定横坐标和纵坐标，比如(1，I)，就可以确定一个实数(45度)的旋转量。
17、数学家用一种特殊的方式来表达这个二维坐标：用一个符号连接横坐标和纵坐标。比如把(1，I)表示为1 i .这种表示法叫做复数，
18、其中1称为实部，I称为虚数。
19、为什么要这样表示二维坐标？下一节将告诉你为什么。
20、三、作用虚数：加法
21、虚数的引入大大方便了涉及旋转的计算。
22、比如物理学需要计算‘力的合成’。假设一个力是3 i，另一个力是1 3i。他们的合力是什么？
23、根据‘平行四边形法则’，你马上得到合力是(3 i) (1 3i)=(4 4i)。
24、这就是虚数加法的物理意义。
25、四、虚数的作用：乘法
26、如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。
27、比如，一条船的航向是3 + 4i 。
28、如果该船的航向，逆时针增加45 度，请问新航向是多少？
29、45度的航向就是1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向3 + 4i 与1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：
30、( 3 + 4i ) * ( 1 + i )=( -1 + 7i )
31、所以，该船的新航向是-1 + 7i 。
32、如果航向逆时针增加90 度，就更简单了。因为90 度的航向就是i ，所以新航向等于：
33、( 3 + 4i ) * i=( -4 + 3i )
34、这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。
35、五、虚数乘法的数学证明
36、为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？
37、下面就是它的数学证明，实际上很简单。
38、任何复数a + bi，都可以改写成旋转半径r 与横轴夹角 的形式。
39、假定现有两个复数a + bi 和c + di，可以将它们改写如下：
40、a + bi=r1 * ( cos + isin )
41、c + di=r2 * ( cos + isin )
42、这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于
43、r1 * r2 * ( cos + isin ) * ( cos + isin )
44、展开后面的乘式，得到
45、cos * cos - sin * sin + i ( cos * sin + sin * cos )
46、根据三角函数公式，上面的式子就等于
47、cos (+) + isin (+)
48、所以，
49、( a + bi )( c + di )r1 * r2 * ( cos (+) + isin (+) )
50、这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。
以上就是虚数这篇文章的一些介绍，希望对大家有所帮助。
